Ableitungsregeln

Um die Ableitung einer Funktion möglichst schnell und ohne Fehler zu berechnen, ist es wichtig, die folgenden Ableitungsregeln zu kennen.

 FunktionAbleitung
Potenzregel$f(x)=x^a$$f'(x)=a\cdot x^{a-1}$
Summenregel$f(x)=u(x)+v(x)$$f'(x)=u'(x)+v'(x)$
Faktorregel$f(x)=a\cdot v(x)$$f'(x)=a\cdot v'(x)$
Produktregel$f(x)=u(x)\cdot v(x)$$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
Quotientenregel$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$$f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$
Kettenregel$f(x)=u(v(x))$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$

Beispiele

Potenzregel

$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)=3\cdot x^2$

Summenregel

$f(x)=x^2-sin(x) \rightarrow f'(x)=3\cdot x-cos(x)$

Faktorregel

$f(x)=2\cdot x^3 \rightarrow f'(x)=6\cdot x^2$

Produktregel

$f(x)=3x\cdot (2x^3-2x)$

$u(x)=3x \rightarrow u'(x)=3$

$v(x)=2x^3-2x \rightarrow v'(x)=6x^2-2$

$\rightarrow f'(x)=3\cdot(2x^3-2x)+3x\cdot(6x^2-2)$

Quotientenregel

$f(x)=\frac{3x}{(2x^3-2x)}$

$u(x)=3x \rightarrow u'(x)=3$

$v(x)=2x^3-2x \rightarrow v'(x)=6x^2-2$

$\rightarrow f'(x)=\frac{3\cdot (2x^3-2x)-3x\cdot (6x^2-2)}{(2x^3-2x)^2}$

Kettenregel

$f(x)=sin(x^3) \rightarrow f'(x)=cos(x^3)\cdot 3x^2$

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