Extremstellen

Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man ihre Hoch- und Tiefpunkte. An diesen Stellen wechselt die Kurve der Funktion ihren Verlauf: Entweder vom Steigen zum Fallen (Hochpunkt), oder vom Fallen zum Steigen (Tiefpunkt).
 
 
Am Hoch- oder Tiefpunkt hat die Funktion also keinerlei Steigung. Mit dieser Eigenschaft ist es möglich, die Extremstellen zu bestimmen.
 

Extremstellen bestimmen

Damit die Funktion an diesen Stellen keine Steigung hat, muss die erste Ableitung gleich Null sein. Bei einem Hochpunkt ist die zweite Ableitung kleiner als Null, bei einem Tiefpunkt ist die zweite Ableitung größer als Null.

Kriterien

Hier die Kriterien im Überblick:

Hochpunkt

  • $f'(x)=0$ (Erste Ableitung gleich Null)
  • $f”(x)<0$ (Zweite Ableitung kleiner Null)

Tiefpunkt

  • $f'(x)=0$ (Erste Ableitung gleich Null)
  • $f”(x)>0$ (Zweite Ableitung größer Null)

Vorgehen

So gehst du bei der Berechnung vor:

  1. Funktion zweimal ableiten
  2. Die erste Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen
  3. x-Wert in zweite Ableitung einsetzen: Ist das Ergebnis $<0$, so handelt es sich um einen Hochpunkt, ist das Ergebnis $>0$, so ist es ein Tiefpunkt
  4. x-Wert in usprüngliche Funktion einsetzen und y-Wert berechnen
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