Was ist das?

Eine Funktion ordnet einem Element aus einer Menge eindeutig ein Element aus einer anderen Menge zu. Was heißt das jetzt genau?

Die Voraussetzung dafür, dass es überhaupt eine Funktion gibt, ist, dass zwei Mengen existieren, welche durch die Funktion miteinander “verbunden” werden. Verbunden werden heißt: Die Funktion ordnet jedem Objekt aus der ersten Menge genau ein Objekt aus der zweiten Menge zu.

Beispiel

Angenommen wir haben unterschiedliche geometrische Figuren in vielen verschiedenen Größen, und zwar Kreise, Dreiecke und Vierecke. Diese Figuren bilden die erste Menge.

Die zweite Menge bilden die Bezeichnungen dieser Figuren, also die Worte “Kreis”, “Dreieck” und “Viereck”.

Unsere Beispielfunktion $f$ ordnet jetzt jeder geometrischen Figur aus der ersten Menge den passenden Begriff aus der zweiten Menge zu. Wichtig dabei ist, dass jedes Element aus der ersten Menge nur einem einzigen Element aus der zweiten Menge zugeordnet werden kann. Nur dann handelt es sich tatsächlich um eine Funktion.

Würde sich beispielsweise in unserer zweiten Menge zusätzlich der Begriff “Vieleck” befinden, so könnte einem Dreieck aus der ersten Menge nicht mehr genau ein Begriff aus der zweiten Menge zugeordnet werden, sondern die beiden Begriffe “Dreieck” und “Vieleck”.  Auch ein Viereck wäre nicht mehr eindeutig zuzuordnen. Es wäre somit keine Funktion mehr.

Eine Funktion kann also so definiert oder beschrieben werden:

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zuordnet.

Begriffe

Die erste Menge, in unserem Beispiel die geometrischen Figuren, nennt sich Definitionsmenge. Die zweite Menge, im Beispiel die Begriffe, wird als Bildmenge, da sie ja praktisch die „Abbildung“ der Definitionsmenge ist, oder als Wertemenge bezeichnet. Eine Funktion ordnet also einem Element aus der ursprünglichen Definitionsmenge ein Element aus der Bildmenge eindeutig zu.

Elemente aus der Definitionsmenge werden häufig als $x$-Werte bezeichnet, während Elemente aus der Bildmenge als $y$-Werte bezeichnet werden. Die Funktion selbst wird meist mit $f$ oder $g$ abgekürzt.

Mit den mathematischen Bezeichnungen lautet die Definition so:

Eine Funktion $f$ stellt eine Beziehung zwischen einer Definitionsmenge $D$ und einer Bildmenge $B$ (oder Wertemenge $W$) her, indem sie jedem Element $x$ aus der Definitionsmenge genau ein Element $y$ aus der Bildmenge zuordnet.