Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck

Der Höhensatz besagt folgendes: “In einem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat der Höhe die gleiche Fläche, wie das Rechteck der beiden Hypotenusenabschnitte.”

Wie ist das zu verstehen? Zeichnen wir in das rechtwinklige Dreieck die Höhe ein, so wird die Hypotenuse in zwei Abschnitte aufgeteilt, in der Grafik $p$ und $q$ genannt. (Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel.) Multipliziert man diese beiden Teile miteinander, so bekommt man das gleiche Ergebnis, wie wenn man die Höhe $h$ quadriert.

Anwendungsaufgabe

“Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt $4~cm$ und einer der beiden Hypotenusenabschnitte ist $2~cm$ lang. Wie lang ist die Hypothenuse des Dreiecks?”

Lösung

Vom Höhensatz wissen wir, dass das Quadrat der Höhe gleich das Produkt der Hypotenusenabschnitte ist: $h^2=p \cdot q$.

$h$ und $q$ sind in diesem Fall gegeben (ob der Hypthenusenabschnitt in diesem Fall $q$ oder $p$ heißt ist egal). Wir stellen die Gleichung also nach $p$ um:

$p=\frac{h^2}{q}$

Einsetzen der beiden Werte für $h$ und $q$ liefert uns das Ergebnis für $p$:

$p=\frac{(4~cm)^2}{(2~cm)}$

$p=8~cm$

Um die Länge der Hypotenuse zu berechnen, müssen die beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ noch addiert werden:

$p+q=8~cm+2~cm=10~cm$

Antwort: Die Hypotenuse ist $10~cm$ lang.

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