Kosinussatz

Der Kosinussatz ist dazu da, Seitenlängen oder Winkel eines beliebigen Dreiecks zu bestimmen. Für ein Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gelten die Gleichungen:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos (\alpha)$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos (\beta)$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos (\gamma)$

Beispiel

Angenommen, die drei Seitenlängen eines Dreiecks sind gegeben:

$a=2~cm$, $b=4~cm$, $c=3~cm$

Gesucht ist der Winkel $beta$. Mithilfe der zweiten Gleichung kann der Winkel berechnet werden. Dazu wird die Gleichung nach $beta$ umgestellt und anschließend werden die Werte für die Seitenlängen eingesetzt:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos (\beta)$

$b^2-a^2-c^2=-2ac\cdot cos (\beta)$

$-\frac{b^2-a^2-c^2}{2ac}= cos (\beta)$

$arccos(-\frac{b^2-a^2-c^2}{2ac})= \beta$

Einsetzen der Werte liefert das Ergebnis:

$arccos(-\frac{(4~cm)^2-(2~cm)^2-(3~cm)^2}{2\cdot(2~cm)\cdot(3~cm)})= \beta$

$\beta\approx75,5$

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