Der Kosinussatz ist dazu da, Seitenlängen oder Winkel eines beliebigen Dreiecks zu bestimmen. Für ein Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gelten die Gleichungen:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos (\alpha)$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos (\beta)$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos (\gamma)$
Beispiel
Angenommen, die drei Seitenlängen eines Dreiecks sind gegeben:
$a=2~cm$, $b=4~cm$, $c=3~cm$
Gesucht ist der Winkel $beta$. Mithilfe der zweiten Gleichung kann der Winkel berechnet werden. Dazu wird die Gleichung nach $beta$ umgestellt und anschließend werden die Werte für die Seitenlängen eingesetzt:
$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos (\beta)$
$b^2-a^2-c^2=-2ac\cdot cos (\beta)$
$-\frac{b^2-a^2-c^2}{2ac}= cos (\beta)$
$arccos(-\frac{b^2-a^2-c^2}{2ac})= \beta$
Einsetzen der Werte liefert das Ergebnis:
$arccos(-\frac{(4~cm)^2-(2~cm)^2-(3~cm)^2}{2\cdot(2~cm)\cdot(3~cm)})= \beta$
$\beta\approx75,5$