Sind die Koordinaten zweier Punkte gegeben, so lässt sich der Abstand der beiden Punkte berechnen, indem der Betrag des Verbindungsvektors berechnet wird.
Vorgehen
Hier die einzelnen Schritte im Überblick:
- Punkte als Ortsvektoren schreiben
- Ortsvektoren voneinander abziehen, um den Verbindungsvektor zu berechnen
- Betrag des Verbindungsvektors berechnen
Beispiel
Die beiden Punkte $P(4|3|2)$ und $Q(7|-3|0)$ sind gegeben. Es soll der Abstand zwischen den Punkten berechnet werden.
Zuerst werden die Punkte zu Ortsvektoren umgeschrieben:
$P(4|3|2) ~\rightarrow ~\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}$
$Q(7|-3|0) ~\rightarrow ~\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 7\\ -3\\ 0\\ \end{pmatrix}$
Danach wird der Verbindungsvektor berechnet, indem ein Ortsvektor vom anderen abgezogen wird:
$\vec{v}=\vec{OP}-\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 7\\ -3\\ 0\\ \end{pmatrix}$
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 4-7\\ 3-(-3)\\ 2-0\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -3\\ 6\\ 2\\ \end{pmatrix} $
Zum Schluss noch den Betrag des Verbindungsvektors berechnen:
$|\vec{v}|=\sqrt{ (-3)^2 + 6^2 + 2^2}$
$|\vec{v}|=\sqrt{49}=7$
Die Punkte $P$ und $Q$ sind $7$ Einheiten voneinander entfernt.