Sind die Koordinaten zweier Punkte gegeben, so lässt sich der Abstand der beiden Punkte berechnen, indem der Betrag des Verbindungsvektors berechnet wird.

Vorgehen

Hier die einzelnen Schritte im Überblick:

Beispiel

Die beiden Punkte $P(4|3|2)$ und $Q(7|-3|0)$ sind gegeben. Es soll der Abstand zwischen den Punkten berechnet werden.

Zuerst werden die Punkte zu Ortsvektoren umgeschrieben:

$P(4|3|2) ~\rightarrow ~\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}$

$Q(7|-3|0) ~\rightarrow ~\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 7\\ -3\\ 0\\ \end{pmatrix}$

Danach wird der Verbindungsvektor berechnet, indem ein Ortsvektor vom anderen abgezogen wird:

$\vec{v}=\vec{OP}-\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 7\\ -3\\ 0\\ \end{pmatrix}$

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 4-7\\ 3-(-3)\\ 2-0\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -3\\ 6\\ 2\\ \end{pmatrix} $

Zum Schluss noch den Betrag des Verbindungsvektors berechnen:

$|\vec{v}|=\sqrt{ (-3)^2 + 6^2 + 2^2}$

$|\vec{v}|=\sqrt{49}=7$

Die Punkte $P$ und $Q$ sind $7$ Einheiten voneinander entfernt.

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