Um den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können, solltest du bereits wissen, wie man das Skalarprodukt bildet und den Betrag eines Vektors berechnet.

Definition

Zwei Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind gegeben:

Der Winkel $\alpha$ berechnet sich mit folgender Formel:

$\cos\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}|\cdot|\vec{w}|}$

Beispiel

Es soll der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\vec{v}=\begin{pmatrix} -3\\ 0\\ 4\\ \end{pmatrix}$ und $\vec{w}=\begin{pmatrix} 6\\ 3\\ -2\\ \end{pmatrix}$ berechnet werden.

Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren gebildet:

$\vec{v}\cdot \vec{w}=\begin{pmatrix} -3\\ 0\\ 4\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6\\ 3\\ -2\\ \end{pmatrix}$

$=(-3)\cdot 6+0\cdot 3+4\cdot (-2)=(-26)$

Anschließend werden die Beträge berechnet und miteinander multipliziert:

$|\vec{v}|=\begin{pmatrix} -3\\ 0\\ 4\\ \end{pmatrix}=\sqrt{ (-3)^2 + 0^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5$

$|\vec{w}|=\begin{pmatrix} 6\\ 3\\ -2\\ \end{pmatrix}=\sqrt{ 6^2 + 3^2 + (-2)^2}=\sqrt{49}=7$

$|\vec{v}|\cdot |\vec{w}|=5\cdot 7=35$

Die beiden Werte werden jetzt in die Formel eingesetzt, die Formel wird nach $\alpha$ umgestellt und gelöst:

$\cos{\alpha}=\frac{(-26)}{35}$

$\alpha=\arccos(\frac{(-26)}{35})$

$\alpha\approx 138°$

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