Abstand zweier Punkte mit Vektoren berechnen

Sind die Koordinaten zweier Punkte gegeben, so lässt sich der Abstand der beiden Punkte berechnen, indem der Betrag des Verbindungsvektors berechnet wird.
 

Vorgehen

Hier die einzelnen Schritte im Überblick:

Beispiel

Die beiden Punkte $P(4|3|2)$ und $Q(7|-3|0)$ sind gegeben. Es soll der Abstand zwischen den Punkten berechnet werden.

Zuerst werden die Punkte zu Ortsvektoren umgeschrieben:

$P(4|3|2) ~\rightarrow ~\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}$

$Q(7|-3|0) ~\rightarrow ~\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 7\\ -3\\ 0\\ \end{pmatrix}$

Danach wird der Verbindungsvektor berechnet, indem ein Ortsvektor vom anderen abgezogen wird:

$\vec{v}=\vec{OP}-\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 7\\ -3\\ 0\\ \end{pmatrix}$

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 4-7\\ 3-(-3)\\ 2-0\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -3\\ 6\\ 2\\ \end{pmatrix} $

Zum Schluss noch den Betrag des Verbindungsvektors berechnen:

$|\vec{v}|=\sqrt{ (-3)^2 + 6^2 + 2^2}$

$|\vec{v}|=\sqrt{49}=7$

Die Punkte $P$ und $Q$ sind $7$ Einheiten voneinander entfernt.

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