Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Um den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können, solltest du bereits wissen, wie man das Skalarprodukt bildet und den Betrag eines Vektors berechnet.

Definition

Zwei Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind gegeben:

Der Winkel $\alpha$ berechnet sich mit folgender Formel:

$\cos\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}|\cdot|\vec{w}|}$

Beispiel

Es soll der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\vec{v}=\begin{pmatrix} -3\\ 0\\ 4\\ \end{pmatrix}$ und $\vec{w}=\begin{pmatrix} 6\\ 3\\ -2\\ \end{pmatrix}$ berechnet werden.

Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren gebildet:

$\vec{v}\cdot \vec{w}=\begin{pmatrix} -3\\ 0\\ 4\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6\\ 3\\ -2\\ \end{pmatrix}$

$=(-3)\cdot 6+0\cdot 3+4\cdot (-2)=(-26)$

Anschließend werden die Beträge berechnet und miteinander multipliziert:

$|\vec{v}|=\begin{pmatrix} -3\\ 0\\ 4\\ \end{pmatrix}=\sqrt{ (-3)^2 + 0^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5$

$|\vec{w}|=\begin{pmatrix} 6\\ 3\\ -2\\ \end{pmatrix}=\sqrt{ 6^2 + 3^2 + (-2)^2}=\sqrt{49}=7$

$|\vec{v}|\cdot |\vec{w}|=5\cdot 7=35$

Die beiden Werte werden jetzt in die Formel eingesetzt, die Formel wird nach $\alpha$ umgestellt und gelöst:

$\cos{\alpha}=\frac{(-26)}{35}$

$\alpha=\arccos(\frac{(-26)}{35})$

$\alpha\approx 138°$

Menü schließen